Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Rumus turunan, garis singgung, dan nilai maksimum

Rumus dasar turunan

f(x) = ax^n \Rightarrow f'(x) = anx^{n-1} \qquad f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0

(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

Aturan turunan

(u \pm v)' = u' \pm v' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Aturan rantai:

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

\frac{d}{dx}(2x + 1)^5 = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4

Aplikasi turunan
• Gradien garis singgung di

x = a

m = f'(a)

• Fungsi naik jika

f'(x) > 0

, turun jika

f'(x) < 0

• Titik stasioner:

f'(x) = 0

. Jika

f''(x) < 0

→ maksimum,

f''(x) > 0

→ minimum

Contoh:

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ atau } x = 2

f''(x) = 6x - 6

: di

x = 0

bernilai

-6

→ maksimum

f(0) = 2

; di

x = 2

bernilai

6

→ minimum

f(2) = -2

Trik optimasi: dari semua persegi panjang dengan keliling tetap, luas terbesar dicapai saat bentuknya persegi.

Ayo Jawab!

1. Jika f(x) = 4x³ − 2x + 7, maka f′(1) = …

2. Turunan dari f(x) = (3x − 2)⁴ adalah …

3. Gradien garis singgung kurva y = x² + 3x di x = 2 adalah …

4. Nilai maksimum lokal f(x) = x³ − 12x adalah …

5. Turunan dari sin 2x adalah …